Aplicações da Parábola de Segurança

A parábola de segurança é usada principalmente em problemas de determinação de velocidade mínima, tendo como exemplo:

·         Problema: Um garoto deseja chutar sua bola no travessão de um gol que dista 20m dele e tem 5m de altura. Sendo g=10ms², qual a velocidade mínima que o menino deve chutar a bola para que ela atinja o travessão?

·         Resolução: Considerando o garoto o ponto (0,0) dum sistema cartesiano, pode-se afirmar que o ponto (20,5) é o travessão e pertence à parábola de segurança definida pela fórmula:

·         Resposta: O menino deve chutar a bola a no mínimo 16m/s para que ela atinja o travessão.

·         Problema Desafio: As provas do detonador de uma granada efetuam-se no centro do fundo de um poço cilíndrico de profundidade H. Os estilhaços produzidos pela explosão não ultrapassam a velocidade V, não podem cair na superfície da terra. Qual deverá ser o diâmetro mínimo do poço? 

Parábola de Segurança

A  parábola de segurança  (ps) é uma ferramenta poderosa e  muito interessante  que resolve, de forma simples e elegante, problemas de máximos e mínimos, envolvendo lançamentos de projéteis  que, de outra forma, seriam solucionados  com um enorme trabalho algébrico, regado  a  cálculo diferencial.

Considere um lançador de projéteis, localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XY, disparando projéteis com velocidade  inicial V_o constante, mas sob diferentes ângulos de disparo  a  com a horizontal, variando gradativamente no intervalo 0° < a < 180°. Para cada ângulo a, a trajetória seguida pelo projétil  é uma parábola que parte da origem, atinge uma altura máxima e retorna ao solo horizontal (Figura 7).

Figura 7: Lançamentos com velocidade constante do ponto (0,0)

Efetuando-se uma sequência de disparos sob ângulos a progressivamente maiores, variando no intervalo  0º < a < 180º, obteremos uma família de trajetórias parabólicas que têm, em comum, a velocidade de disparo V_o , sendo, cada uma delas, descrita pela equação mostrada anteriormente:

Curiosamente, essa família de parábolas, que têm em comum a mesma velocidade de disparo V_o,  tangencia uma parábola envolvente, que é única para cada valor de V_o, denominada “parábola de segurança” (Figura 8).

  

Figura 8: A parábola de segurança

A expressão  “parábola de segurança” advém do fato de que ela define o lugar geométrico dos pontos do plano XY que jamais serão atingidos pelo lançador, ao efetuar disparos com aquela velocidade V_o característica daquela PS. O conjunto de todos os pontos externos a essa parábola de segurança constituem a chamada  “zona de segurança”  dessa  PS (Figura 9).

Figura 9: Zona de Segurança

            Isolando a fórmula da trajetória do projétil em tg α, tem-se:

            Esta fórmula determina o ângulo que o projétil a uma velocidade V, sujeito a uma aceleração da gravidade g, deve ser disparado para atingir o ponto (x,y).

·         Caso 1 (Δ>0): Nesse caso, a equação  fornecerá  dois ângulos  a   distintos  para os quais o ponto (x,y) será  atingido pelo projétil.  Graficamente,  o ponto é  interno  à   parábola de segurança.

·         Caso 2 (Δ=0): Nesse caso, a equação fornecerá  um único  ângulo  a de disparo  sob  o qual  o ponto  (x,y) será   atingido pelo projétil.  Graficamente,  o  ponto está  sobre parábola de segurança, isto é, ele pertence à  OS

·         Caso 3(Δ<0): Aqui, a equação não possui solução. Em outras palavras,  não existe ângulo  a   que  faça  a  trajetória  do projétil passar  pelo ponto (x,y).  O motivo é que a velocidade do lançador está pequena demais para atingir esse ponto.  Para atingi-lo, será  necessário  aumentar  a velocidade de disparo, isto é, trocar a  PS  original  por uma  nova PS  mais abrangente que  contenha  esse  ponto P. Graficamente, Δ < 0  significa que o ponto é externo à parábola de segurança, isto é, se encontra em sua zona de segurança.

Figura 10: Δ>0

Figura 11: Δ=0

Figura 12: Δ<0

Portanto, para determinar a equação da parábola de segurança, deve-se impor a condição Δ=0 na equação:

Fórmula da P.S.

Fórmulas do Lançamento

Sendo as fórmulas gerais do MRU e MRUV de posição em função do tempo, respectivamente:

            Como S₀=0, V_x=V.cosα E V_y=V.senα, pode afirmar que as posições do projétil na horizontal (S_x) e na vertical (S_y), respectivamente sejam:

•       Duração do lançamento:

Como somente V_y interfere na duração do lançamento, e a posição final S_y ao final do lançamento é 0, tem-se:

            Como t=0 não convém, tem-se:

•   Distância percorrida:

A distância percorrida pelo projétil é determinada pela velocidade horizontal em função do tempo de duração do lançamento, então:

Como 2.senα.cosα = sen2α, tem-se:

Que é a distância que será percorrida pelo projétil.

•   Distância máxima percorrida e ângulo ótimo

Como o valor máximo para sen x  é 1, então:

Que é a distância máxima que um projétil disparado a velocidade V pode atingir. Como sen2α = 1, então:

Determinando assim que o ângulo de 45° é aquele que dá ao projétil sua maior distância percorrida.

•   Fórmula da trajetória geral de um projétil:

Seja (0,0) o ponto de disparo do projétil, e isolando-se t na fórmula da posição horizontal do projétil, tem-se:

E substituindo t na fórmula da posição vertical do projétil, tem-se:

Substituindo S_x por x e S_y por y, tem-se:

Como senα/cosα = tgα, então tem-se a fórmula geral que representa a trajetória de um projétil em função de sua velocidade inicial e seu ângulo de lançamento com a horizontal:

Composição do movimento de lançamento

            O movimento de um objeto lançado sujeito apenas à força da gravidade é descrito por seu movimento retilíneo uniforme (MRU) na horizontal e seu movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) na vertical. Sendo v a velocidade inicial deste lançamento e α o ângulo desta velocidade com a horizontal, tem-se as velocidade V_x (velocidade horizontal) e V_y (velocidade vertical):

 

                                                    

              

             Esta V_y interfere no tempo de queda, enquanto V_x não altera este, então, quando se tem V_y = 0 quaisquer dois objetos lançados ao mesmo tempo com qualquer valor arbitrário de V_x cairão no chão ao mesmo tempo, desprezando-se a resistência do ar (Figura 6).

Figura 6: Lançamento horizontal x queda livre

Queda Livre

            Muitas vezes pensa-se que a tempo de queda de corpos em queda livre depende de sua massa, porém este conceito é errôneo. Isto é pensado devido ao fato de que quando se deixa uma folha de papel e uma pedra caírem de uma mesma altura, a pedra chega primeiro ao chão, e isto acaba sendo atribuído a sua maior massa, e não aos diferentes arrastos aerodinâmicos. Isto foi desmentido pela primeira vez por Galileu, que jogou dois objetos de formas semelhantes e massas diferentes do topo da Torre de Pisa, e estes chegando ao mesmo tempo. Isto se deve ao fato que a aceleração da gravidade (g) que todos os corpos sofrem é constante e aproximadamente igual a 10m/s², variando apenas seu Peso (P=m.g) quando sua massa se altera (Figura 5).

Figura 5: Comparativo entre as ideias antigas e aos experimento realizado por Galileu

A Parábola

A parábola, assim como outras curvas a ela similares, é uma cônica. Ou seja, ela é o resultado do corte de cone reto por um plano, sendo o tipo de curva formada dependente de como este plano corta este cone. Primeiro vamos aos elementos do cone:

Figura 1: O cone

Existem quatro tipos de curvas cônicas, sendo elas (Figura 2):

·         Circunferência: Curva resultante do corte do plano feito paralelamente à base. Também pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do centro.

·         Elipse: Curva resultante do corte do plano feito não paralelamente à base e que não intercepta a base. Também pode ser definida como o lugar geométrico em que a soma das distâncias de todos os pontos até os focos é constante.

·         Parábola: Curva resultante do corte do plano feito paralelamente a uma geratriz. Também pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos em que a distância de todos os pontos a um ponto (Foco) e a uma reta (diretriz) é a mesma. (Figuras 3 e 4)

·         Hipérbole: Curva resultante do corte do plano feito perpendicularmente à base. Também pode ser definida como o lugar geométrico em a diferença da distância de todos os pontos aos focos é constante.

Figura 2: As cônicas

Figura 3: A parábola no cone

Figura 4: A parábola (foco F e diretriz l) como LG